問題
Ⅲ－31 1年目の期末に\(a\)万円、2年目の期末に\(b\)万円の収益が得られる案がある。この収益を年利\(i\)（%）の複利計算によって現在価値を評価する式として、最も適切なものはどれか。
① \(a(1 + i) + b(1 + i)^2\)
② \(a(1 + i)^2 + b(1 + i)\)
③ \(a + b(1 + i)\)
④ \(a + \frac{b}{(1 + i)}\)
⑤ \(\frac{a}{(1 + i)} + \frac{b}{(1 + i)^2}\)
解答
正解は 5 になります。
問題の概要
この問題は、将来得られる収益を現在の価値に換算する「現在価値（Present Value, PV）」の計算式について問うものです。
現在価値は、将来のキャッシュフローを一定の割引率（利率）で割り引いて評価します。
この考え方は、資金の時間的価値を考慮するもので、投資やプロジェクト評価において重要な概念です。
選択肢の中から「最も適切なもの」を選ぶ必要があります。
現在価値（PV）の基本知識
現在価値とは？
- 将来得られるお金や収益を「今の価値」に換算したもの。
- お金には時間的価値があるため、将来のお金は現在のお金よりも価値が低いと考えます。
計算式
現在価値の一般的な計算式は次の通りです：
$$ PV = \frac{FV}{(1 + r)^n} $$
ここで：
- \(PV\)：現在価値
- \(FV\)：将来価値（将来得られる金額）
- \(r\)：割引率（年利）
- \(n\)：年数
1年後や2年後など、複数年のキャッシュフローがある場合、それぞれのキャッシュフローをこの式で計算し、合計します。
各選択肢の詳細解説
① \(a(1 + i) + b(1 + i)^2\)
- 解説：
- この式は、将来得られる収益を「複利計算で増加させた」ものです。
- 現在価値を求めるには「割引」する必要がありますが、この式では逆に将来価値を増加させています。
- 現在価値の計算としては不適切です。
- 結論：この記述は誤りです。
② \(a(1 + i)^2 + b(1 + i)\)
- 解説：
- この式も①と同様に、収益を複利で増加させています。
- 現在価値を求めるには割引計算が必要ですが、この式では逆方向に計算しています。
- 現在価値の計算として不適切です。
- 結論：この記述は誤りです。
③ \(a + b(1 + i)\)
- 解説：
- この式では、1年目の収益 \(a\) をそのまま現在価値として扱い、2年目の収益 \(b\) を複利で増加させています。
- 現在価値を求めるには割引計算が必要ですが、この式では増加方向に計算しているため不適切です。
- 結論：この記述は誤りです。
④ \(a + \frac{b}{(1 + i)}\)
- 解説：
- この式では、1年目の収益 \(a\) をそのまま現在価値として扱い、2年目の収益 \(b\) を1年分だけ割引いています。
- ただし、1年目の収益 \(a\) を割引していないため、完全な現在価値とは言えません。
- 計算として部分的には正しいですが、不完全な形です。
- 結論：この記述は誤りです。
⑤ \(\frac{a}{(1 + i)} + \frac{b}{(1 + i)^2}\)
- 解説：
- この式では、それぞれの収益を適切に割引しています：
- 1年目の収益 \(a\) を1年分割引：\(\frac{a}{(1 + i)}\)
- 2年目の収益 \(b\) を2年分割引：\(\frac{b}{(1 + i)^2}\)
- 現在価値として正しい形で表現されています。
- この式では、それぞれの収益を適切に割引しています：
- 結論：この記述は正しいです（正解）。
問題の要点とまとめ
問題文から導き出した結論
正解は ⑤：「\(\frac{a}{(1 + i)} + \frac{b}{(1 + i)^2}\)」が最も適切な式である。
ポイントまとめ
- 現在価値（PV）は、「将来得られる金額」を「割引率」と「経過年数」に基づいて割り引いたもの。
- 割引計算では、各キャッシュフローを適切な期間分だけ割り引く必要がある。
- 複数年にわたるキャッシュフローの場合、それぞれ個別に現在価値を求めて合計する。
感想
このあたりは相当苦手だと実感。
過去問ではこのあたりですね↓
この過去問を当時はなんとなくわかる、だったのでしょうが今はサッパリわからなくなってしまいました。
勉強しないと駄目ですねえ。
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