平成30年度　経営工学部門　Ⅲ-19

2025年8月23日

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問題

Ⅲ－１９　下表は、繰り返しのある場合の二元配置法による分散分析表であり、分散及び分散比は未記入である。この分散分析表に関する次の記述のうち、最も不適切なものはどれか。なお、自由度 φ₁、φ₂、上側確率αパーセント点を F(φ₁, φ₂, α) とすると、F(1, 8, 0.05) = 5.32、F(1, 8, 0.01) = 11.3、F(3, 8, 0.05) = 4.07、F(3, 8, 0.01) = 7.59 である。

要因	平方和	自由度
水質　A	40	1
添加剤　B	216	3
交互作用A×B	120	3
誤差　ｅ	64	8
合計	440	15

①　要因Aの水質については、有意水準５％で有意である。

②　要因Bの添加剤については、有意水準１％で有意である。

③　交互作用A×Bについては、有意水準５％で有意である。

④　要因Bの添加剤の分散は、72である。

⑤　交互作用A×Bの分散比は、5.0である。

解答

正解は　1　になります。

二元配置分散分析（繰り返しあり）の全体解説

分散分析（ANOVA）は、多群間の平均値の差を統計的に検証する方法です。
今回の問題は「二元配置分散分析（繰り返しあり）」で、水質（A）と添加剤（B）、そしてその交互作用（A×B）の主効果と誤差について、統計的な有意性や分散・分散比を考えます。

用語のポイント

平方和（Sum of Squares, SS）：変動の大きさ。要因ごとのばらつきや、誤差の合計。
自由度（df）：データの独立した情報量。
分散（Mean Square, MS）：平方和を自由度で割ったもの。MS＝SS/df
分散比（F値, F-ratio）：要因の分散を誤差の分散で割ったもの。F＝MS(要因)/MS(誤差)
有意水準：帰無仮説（差がない）を棄却する閾値。5%や1%がよく使われる。
上側確率点F(φ₁, φ₂, α)：自由度φ₁、φ₂、上側有意水準αのときのF分布の臨界値。

各要素の計算手順

1．分散（MS）の計算
　MS＝SS/df
　- 水質A：MS_A＝40/1＝40
　- 添加剤B：MS_B＝216/3＝72
　- 交互作用A×B：MS_AB＝120/3＝40
　- 誤差e：MS_e＝64/8＝8

2．分散比（F値）の計算
　F＝MS(要因)/MS(誤差)
　- 水質A：F_A＝40/8＝5
　- 添加剤B：F_B＝72/8＝9
　- 交互作用A×B：F_AB＝40/8＝5

3．F値の判定（有意性の検定）
　F値が、その自由度φ₁, φ₂でのF分布の臨界値を超えれば有意と判定。
　- F(1, 8, 0.05)＝5.32
　- F(1, 8, 0.01)＝11.3
　- F(3, 8, 0.05)＝4.07
　- F(3, 8, 0.01)＝7.59

各選択肢の詳細解説

① 要因Aの水質については、有意水準5%で有意である。

F_A=5
臨界値: F(1, 8, 0.05)=5.32
F_A (5) < 臨界値 (5.32)
→ よって有意ではない。
この記述は「不適切」（正解）。

② 要因Bの添加剤については、有意水準1%で有意である。

F_B=9
臨界値: F(3, 8, 0.01)=7.59
F_B (9) > 臨界値 (7.59)
→ 有意水準1%でも有意。

③ 交互作用A×Bについては、有意水準5%で有意である。

F_AB=5
臨界値: F(3, 8, 0.05)=4.07
F_AB (5) > 臨界値 (4.07)
→ 有意水準5%で有意。

④ 要因Bの添加剤の分散は、72である。

添加剤Bの分散: MS_B=216/3=72
→ 正しい記載。

⑤ 交互作用A×Bの分散比は、5.0である。

交互作用A×Bの分散比: F_AB=40/8=5.0
→ 正しい記載。

【まとめ】選択肢と解説

記号	内容	判定	ポイント
①	要因Aは有意水準5％で有意	不適切	F値不足で有意でない
②	添加剤Bは有意水準1％で有意	適切	F値が1%臨界値超
③	交互作用A×Bは有意水準5％で有意	適切	F値が5%臨界値超
④	添加剤Bの分散は72	適切	MS計算通り
⑤	交互作用A×Bの分散比は5.0	適切	F=40/8=5.0